交换环的 Ore 扩张与 Dixmier-Moeglin 等价

我们考虑形如 $T:=R[x;\sigma,\delta]$ 的 Ore 扩张，其中 $R$ 是在域 $k$ 上有限生成的交换整环。我们证明，若 $T$ 的 Gelfand-Kirillov 维数小于 4，则素理想 $P\in {\rm Spec}(T)$ 是本原的当且仅当 $\{P\}$ 在 ${\rm Spec}(T)$ 中局部闭，当且仅当 $T/P$ 的 Goldie 商环的中心是 $k$ 的代数扩张。我们还证明了存在这样的例子：当 $T$ 的整数 Gelfand-Kirillov 维数大于或等于 $4$ 时，这些等价并非全部成立。