亚纯映射的级与像空间的有理性

设 $\iota : \C^2 \hookrightarrow S$ 为二维复空间 $\C^2$ 的紧化。利用 Nevanlinna 理论方法与紧复曲面的分类，K. Kodaira 于 1971 年（\cite{ko71}）证明了 $S$ 是有理曲面。本文处理更一般的亚纯映射 $f: \C^n \to X$，其像为 $n$ 维紧复流形 $X$，且其微分 $df$ 具有一般秩 $n$。设 $\rho_f$ 表示 $f$ 的级。我们将证明，若 $\rho_f<2$，则每个全局对称全纯张量必为零；特别地，{\it 若 $\dim X=2$ 且 $X$ 为 kähler 流形，则 $X$ 为有理曲面。}若无 kähler 条件则无此结论，我们将以 Hopf 曲面构造反例说明之。这可能是 kähler 条件与非 kähler 条件在值分布论中产生差异的首个实例。