ADE奇点的轨形上同调

我们研究 Ruan 的“上同调 crepant 分解猜想”（见 math.AG/0108195）对于具有横截 ADE 奇点的轨形的情形。设 [Y] 为这样的轨形，Y 为其粗模空间，Z 为 Y 的 crepant 分解。遵循 Ruan [math.AG/0108195]，我们利用 Z 的一些 Gromov-Witten 不变量得到上同调环 H^*(Z) 的形变。所得的环族记为 H^*(Z)(q_1,...,q_n)，其中 q_1,...,q_n 为复参数。在 A_n 情形，我们计算了轨形上同调环 H^*_{orb}([Y]) 与族 H^*(Z)(q_1,...,q_n)。前者在一般情形下完成，后者则在一个关于 Gromov-Witten 不变量的显式猜想下完成，该猜想在附加的技术性假设下被验证。在 A_1 情形我们构造了 H^*_{orb}([Y]) 与 H^*(Z)(-1) 之间的显式同构，验证了 Ruan 的猜想。在 A_2 情形，族 H^*(q_1,q_2) 在 q_1=q_2=-1 时未定义，故猜想应稍作修改。然而我们给出了 H^*_{orb}([Y]) 与 H^*(Z)(q_1,q_2)（其中 q_1=q_2 为单位的本原三次根）之间的显式同构，从而证明了稍作修改的 Ruan 猜想版本。自然可猜想，在 A_n 情形，H^*_{orb}([Y]) 同构于 H^*(Z)(q_1,...,q_n)，其中 q_1=...=q_n 为单位的本原 (n+1) 次根。