具有晶体学对称的三三角多项式优化及避集图的谱界
代数几何
2025-11-25 v1 组合数学
最优化与控制
摘要
三角多项式通常定义在整数格上。我们考虑具有晶体学对称性的更大一类权格与根格。本文给出一种最小化三角多项式的新方法，这些多项式在相关反射群下不变。不变性假设允许我们用广义 Chebyshev 多项式重写目标函数。新目标函数定义于紧致基本半代数集上，从而可受益于丰富的多项式优化理论。我们提出一种计算最小值的算法：基于 Hol-Scherer Positivstellensatz，我们在 Chebyshev 基上对目标函数施加矩阵平方和条件。平方和的次数是加权的，由根系定义。增加次数产生收敛的 Lasserre 型下界层次。这在三角与多项式优化间架起桥梁，便于我们与现有技术比较。欧氏空间中避集图的色数通过最优着色定义，可通过最小化三角多项式的谱界计算。若待避集具有晶体学对称性，我们的方法自然适用。具体而言，我们首次计算了对称多面体边界的谱界。若干情形下问题形式极度简化，我们可给出锐谱界的分析证明。其他情形中，我们以数值方式证明锐性。
引用
@article{arxiv.2303.09487,
title = {Optimization of trigonometric polynomials with crystallographic symmetry and spectral bounds for set avoiding graphs},
author = {Evelyne Hubert and Tobias Metzlaff and Philippe Moustrou and Cordian Riener},
journal= {arXiv preprint arXiv:2303.09487},
year = {2025}
}