最大李雅普诺夫指数的凸计算

我们描述了一种方法，用于在指定集合中所有轨迹上求常微分方程动力系统最大李雅普诺夫指数的上界。我们构造了一个最小化问题，其下确界等于最大李雅普诺夫指数，前提是相关轨迹保持在紧集中。该最小化针对定义在状态空间上并满足逐点不等式的辅助函数进行。在多项式情形——即常微分方程右端为多项式、感兴趣集合由多项式不等式或等式指定、且辅助函数于多项式中寻取——该最小化可松弛为受平方和约束、计算易处理的多项式优化问题。扩大辅助函数所寻取的多项式空间会产生计算代价递增的优化问题，其下确界至少在集合紧时从上方收敛于最大李雅普诺夫指数。为说明，我们对两个混沌例子进行了此类多项式优化计算：洛伦兹系统与埃农-海尔斯系统。所算上界随多项式次数升高而收敛，且在各例子中我们得到了至少精确到五位数字的上界。通过寻找其前导李雅普诺夫指数近似等于上界的轨迹，证实了该锐度。