迹态 $\mathrm{W}^*$-代数中类型的优运输与可定义谓词的凸分析

我们研究了连续模型论、自由概率与优运输/凸分析在迹态 von Neumann 代数背景下的联系。特别地，我们给出了优耦合的 Monge-Kantorovich 对偶性的类比，其中 $\mathbb{C}^n$ 上概率分布的角色由模型论类型扮演，实值连续函数的角色由可定义谓词扮演，连续函数 $\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^n$ 的角色由可定义函数扮演。在此过程中，我们还通过证明所有可定义谓词均可由梯度为可定义函数的“$C^1$ 可定义谓词”逼近，增进了对可定义谓词与可定义函数的理解。作为推论，我们证明了 $\mathrm{W}^*(x_1,\dots,x_n)$ 的可定义闭包中的每个元素均可表示为 $(x_1,\dots,x_n)$ 的可定义函数。我们给出了若干类例子，表明一般情况下可定义闭包可以远大于 $\mathrm{W}^*(x_1,\dots,x_n)$。