Radially Symmetric Grushin 空间中的最优合成

我们研究构成旋转不变 Carnot-Carth\'{e}odory 度量的 $\mathbb{R}^3$ 几何结构，该度量通过对 $z$ 方向的运动赋予由圆柱半径函数 $f(r)$ 决定的权重。当 $f$ 仅在 $r=0$ 处为零时，空间沿垂直轴呈现出类 Grushin 类型奇点。我们给出确保 Grushin 类结构的充分条件，并描述奇异点的完整最优合成。对于黎曼点，我们提出一种由哈密顿流离散对称性决定的候选切断时间。对于可积情形 $f(r)=r$，我们证明该候选时间即为真实切断时间，并给出切断轨的显式描述。