$\mathbb{F}_q[t]$ 上二次曲面的优化强逼近

设 $q$ 为固定的奇素数幂,$F(\vec{x})$ 是 $\mathbb{F}_q[t]$ 上判别式为 $\Delta$、含 $d\geq 5$ 个变量 $\vec{x}$ 的非退化二次型,$f,g\in\mathbb{F}_q[t]$,$\boldsymbol{\lambda}\in\mathbb{F}_q[t]^d$。我们证明只要 $\text{deg} f\geq (4+\varepsilon)\text{deg} g+O_{\varepsilon,F}(1)$,$\gcd(\Delta^{\infty},fg)=O(1)$,且必要的局部条件满足,就存在解 $\vec{x}\in\mathbb{F}_q[t]^d$ 满足 $F(\vec{x})=f$ 且 $\vec{x}\equiv\boldsymbol{\lambda}\bmod g$。对于 $d=4$,我们证明若改为 $\text{deg} f\geq (6+\varepsilon)\text{deg} g+O_{\varepsilon,F}(1)$ 则相同结论成立。这给出了一个独立于 Drinfeld 证明的函数域上 Ramanujan 猜想的新证明:任意 $k$-正则 Morgenstern Ramanujan 图 $G$ 的直径至多为 $(2+\varepsilon)\log_{k-1}|G|+O_{\varepsilon}(1)$。与 $d=4$ 情形相反,我们的结果对 $d\geq 5$ 是最优的。我们的主要新贡献是用于界定振荡积分的函数域上平稳相位定理,以及用于规避函数域环境中各向同性现象的各向异性锥概念。