用于界面问题 Nitsche-XFEM 离散化的最优预条件子

在过去十年中，非贴合有限元（或 XFEM）与 Nitsche 方法的结合已成为椭圆界面问题的一种流行离散化方法。这一发展始于论文 [A. Hansbo, P. Hansbo, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 191 (2002)] 中对该 Nitsche-XFEM 技术的引入和分析。一般而言，所得线性系统具有非常大的条件数，这不仅取决于网格尺寸 $h$，还取决于界面如何与网格相交。本文关注此类线性系统的最优预条件子的设计与分析。我们提出了一种加性子空间预条件子，其最优性体现在所得条件数独立于网格尺寸 $h$ 和界面位置。我们进一步表明，仅对刚度矩阵进行简单的对角缩放即可产生一个以 $ch^{-2}$ 为界的条件数，其中常数 $c$ 不依赖于界面的位置。这两个结果均在二维情形下得到证明。展示了二维和三维数值实验的结果，说明了该预条件子的质量。