SIRS过程在星形图上的存活时间的最优界限

我们分析了易感-感染-恢复-易感 (SIRS)过程，这是一种连续时间马尔可夫链，常用于流行病学中模拟网络上感染的传播。在此框架下，感染的传播方式为：感染的顶点以恢复率1恢复，以$\lambda$的速率独立地感染易感邻居，恢复的顶点则以$\alpha$的速率重新变为易感。相较于SIS模型，SIRS模型呈现出显著更大的分析挑战，因此后者所激发的 mathematischen 文献更为广泛和丰富。在此背景下，理解存活时间——即感染完全消亡之前的持续时间——是一个基本问题。在一般图上，存活时间严重依赖于感染在高阶顶点（称为枢纽或星形）附近的持久程度，因为长时间的持久性能够实现枢纽之间的传输并延长过程；相反，短暂的持久性会导致快速消亡，使得作为枢纽代表的星形图的动力学尤为重要。2016年，Ferreira、Sander和Pastor-Satorras提出，基于直观论证，认为在包含n个叶子的星形图上的SIRS存活时间对于大n的上界为$(\lambda^2 n)^\alpha$。然而，在SIRS的少数几个严谨数学结果中，Friedrich等人提供了一个上界为$n^\alpha \log n$的界，其中包含额外的$\log n$且不依赖于$\lambda$。我们解决了此猜想，通过证明存活时间确实为$(\lambda^2 n)^\alpha$的阶次，具有匹配的上界和下界。此外，我们还显示，即使仅对根部进行免疫处理，而叶子在恢复后立即恢复为易感状态，该结论也依然成立。