演化 Erdős-Rényi 图上的 SIR 流行病

在标准 SIR 模型中，感染顶点以速率 $\lambda$ 跨各边独立地感染其邻居，并以速率 $\gamma$ 恢复。本文考虑 SIR-$\omega$ 模型，其中图结构本身与 SIR 动力学共同演化。具体而言，$S-I$ 连接以速率 $\omega$ 断开；然后，以概率 $\alpha$，$S$ 将该边重连至另一个均匀随机选取的顶点；以概率 $1-\alpha$，该边被直接丢弃。当 $\alpha=1$ 时，SIR-$\omega$ 模型退化为 evoSIR 模型。Jiang 等人在 \cite{DOMath} 中证明，evoSIR 模型中爆发的概率在 $\lambda$ 趋近临界感染率 $\lambda_c$ 时收敛于 0。另一方面，\cite{DOMath} 中的数值实验揭示，当 $\lambda \to \lambda_c$ 时（在给定爆发的条件下），感染顶点比例可能不收敛于 0，这被称为不连续相变。在 \cite{BB} 中，Ball 与 Britton 给出了 SIR-$\omega$ 模型中感染顶点比例发生连续与不连续相变的两个（不匹配的）条件。本文中，我们获得了在 \ER\, 图上 SIR-$\omega$ 模型最终流行规模出现不连续相变的充要条件，从而弥合了这两个条件之间的间隙。