具有三个相变的大型完全图上的捕食 - 猎物 SIR 型动力学

我们研究完全图上 SIR（易感/感染/康复）动力学的一种变体，其中感染个体仅能以固定速率 $\lambda>0$ 传播给相邻的易感个体，而康复个体仅能以固定速率 $1$ 传播给相邻的感染个体。这也是 Kordzakhia 提出并由 Bordenave 和 Ganesan 进一步研究的所谓“追逐 - 逃逸”过程的变体。我们的工作是对该动力学在完全图上的首次研究。从具有 $N+2$ 个顶点的完全图上一个感染个体和一个康复个体开始，并在某一类个体消失时停止该过程，我们研究了当 $N\rightarrow\infty$ 时感染传播至整个图的概率的渐近行为，并表明对于 $\lambda\in (0,1)$（分别为 $\lambda>1$），随着 $N\rightarrow\infty$，感染以趋于 1 的概率消亡（分别为不消亡），且对于 $\lambda=1$，感染消亡的概率趋于 $1/2$。我们还建立了关于系统在所有机制下渐近状态的极限定理，并表明在次临界相 $\lambda\in (0,1)$ 中发生了两个额外的相变：在 $\lambda=1/2$ 处，剩余感染个体期望数的行为发生变化，而在 $\lambda=(\sqrt {5}-1)/2$ 处，剩余康复个体期望数的行为发生变化。我们还研究了感染的爆发规模，表明若 $\lambda \in(0,1/2]$，爆发规模较小；若 $1/2<\lambda<1$，呈现幂律行为；若 $\lambda\geq 1$，则呈大流行特征。我们的方法依赖于不同的耦合技术：首先利用 Athreya-Karlin 嵌入将动力学与两个独立的 Yule 过程耦合，然后借助 Yule 过程的 Kendall 表示将 Yule 过程与泊松过程耦合。