欧几里得网络上的易感 - 感染 - 恢复模型

我们考虑了一维欧几里得网络上的易感 - 感染 - 恢复（SIR）流行病模型，其中除了最近邻节点外，距离为 $l$ 的节点以概率 $P(l) \propto l^{-\delta}$ 相连。随着 $\delta$ 的变化，网络拓扑发生改变，我们研究了其对 SIR 模型的影响。计算了不同感染概率 $q$ 和 $\delta$ 值下的 $R(t)$（截至时间 $t$ 的恢复人口比例）和 $\tau$（流行病总持续时间）。对于所有 $\delta \lesssim 2.0$ 的情况均观察到阈值行为；当超过阈值 $q = q_c$ 时，饱和值 $R_{sat}$ 达到有限值。$R_{sat}$ 和 $\tau$ 在大小为 $N$ 的有限系统中均表现出标度行为：$R_{sat} \sim N^{-\beta/{\tilde{\nu}}} g_1[(q-q_c)N^{1/{\tilde {\nu}}}]$ 和 $\tau \sim N^{\mu/{\tilde{\nu}}} g_2[(q-q_c)N^{1/\tilde{\nu}}]$。当 $0 \leq \delta < 1$ 时 $q_c$ 为常数，而当 $1<\delta\lesssim 2$ 时 $q_c$ 随 $\delta$ 增加。在 $\delta \approx 1.3$ 之前观察到平均场行为；超过此 $\delta$ 值后观察到对 $\delta$ 的弱依赖性。还估算了爆发规模的分布，发现当 $q < q_c$ 时为单峰分布，当 $q > q_c$ 时为双峰分布。将结果与静态渗流现象及有限系统的平均场结果进行了比较，并基于当前结果讨论了欧几里得网络的性质。