k层星型图上的病毒动力学

Becker、Greaves-Tunnell、Kontorovich、Miller、Ravikumar和Shen在由一个中心节点和$n$个邻居组成、仅存在从邻居到中心的边的轮辐图（2层星型图）上，于离散时间SIS（易感-感染-易感）模型的一个变体下确定了病毒传播行为的长期演化。该模型的行为由感染概率与治愈概率之间的相互作用以及2层节点数$n$共同决定。他们证明了对于任意$n$，存在一个关联这些比率的临界阈值，低于该阈值病毒灭绝，高于该阈值该概率动力系统收敛到非平凡稳态（每类节点的感染概率趋于稳定）。设$a$为任意时间步感染节点未被治愈的概率，$b$为任意时间步感染节点感染其邻居的概率，病毒灭绝的阈值为$b \leq (1-a)/\sqrt{n}$。我们将此分析推广到$k\geq 3$的$k$层星型图（每个$(k-1)$层节点恰有$n_k$个邻居，且仅添加从$k$层节点出发的边），针对高于和低于临界阈值$(1-a)/\sqrt{n_1+n_2+\dots+n_{k-1}}$的感染率进行讨论。为此，我们首先分析3层星型图上各层节点的动力学，然后证明$k$层星型图节点的动力学与之相似，从而可将分析简化为仅3层，采用与3层情形相同的方法论。