机器精度下的算子学习
机器学习
2025-11-26 v1 数值分析
数值分析
摘要
神经算子学习方法在科学计算中因能够逼近无限维算子而受到广泛关注。然而，增加其复杂度往往难以显著提升其准确性，使其与诸如核方法和更传统的简化模型相持平。本文旨在解决这一不足，提出了CHONKNORIS（Cholesky Newton--Kantorovich Neural Operator Residual Iterative System），一种可实现机器精度的算子学习范式。CHONKNORIS 借助数值分析方法：许多非线性正向和逆向偏微分方程问题可通过 Newton 类型方法求解。我们并不直接回归解算子本身，而是回归 Newton--Kantorovich 更新相关联的椭圆算子的 Cholesky 因子。由此产生的展开迭代结果为一个神经网络架构，其机器精度行为源于实现收缩映射，这一要求远低于对解算子进行端到端逼近的准确度要求。我们在一系列非线性正向和逆问题上对CHONKNORIS 进行基准测试，包括非线性椭圆方程、Burgers 方程、非线性达西流问题、Calderón 问题、逆向波散射问题以及地震成像问题。我们还提供了CHONKNORIS 收敛的理论保证，具体阐述了模拟 Cholesky 因子准确度的关系。此外，我们引入了一种基础模型变体FONKNORIS（Foundation Newton--Kantorovich Neural Operator Residual Iterative System），该模型聚合多个预训练的CHONKNORIS 专家以解决多种偏微分方程，以模拟新型非线性偏微分方程的解算图。我们的FONKNORIS 模型能够准确求解未知的非线性偏微分方程，如 Klein--Gordon 方程和 Sine--Gordon 方程。
引用
@article{arxiv.2511.19980,
title = {Operator Learning at Machine Precision},
author = {Aras Bacho and Aleksei G. Sorokin and Xianjin Yang and Théo Bourdais and Edoardo Calvello and Matthieu Darcy and Alexander Hsu and Bamdad Hosseini and Houman Owhadi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2511.19980},
year = {2025}
}