具有周期系数的 L\'evy 型算子同质化中的算子估计

本文讨论了形式为 $$({\mathbb A}_\eps u) (\x) = \int_{\R^d} \mu(\x/\eps, \y/\eps) \frac{\left( u(\x) - u(\y) \right)}{|\x - \y|^{d+\alpha}}\,d\y,$$ 的自伴算子在 $L_2(\mathbb R^d)$ 中的同质化，其中 $0< \alpha < 2$，且 $\eps>0$ 为小参数。假设函数 $\mu(\x,\y)$ 在每个变量上为 $\Z^d$-周期，满足 $\mu(\x,\y)=\mu(\y,\x)$ 对所有 $\x$ 和 $\y$ 成立，且 $0< \mu_- \leqslant \mu(\x,\y) \leqslant \mu_+<\infty$。在这些假设下，我们证明了算子 $\eps\to0$ 时，迴转子 $({\mathbb A}_\eps + I)^{-1}$ 在 $L_2(\R^d)$ 中的算子范数收敛于极限算子 ${\mathbb A}^0$ 的迴转子 $({\mathbb A}^0 + I)^{-1}$，其中极限算子 ${\mathbb A}^0$ 给定为 $$({\mathbb A}^0 u) (\x) = \int_{\R^d} \mu^0 \frac{\left( u(\x) - u(\y) \right)}{|\x - \y|^{d+\alpha}}\,d\y,$$ 其中 $\mu^0$ 为 $\mu(\x,\y)$ 的平均值。我们还证明了算子范数差异 $\|({\mathbb A}_\eps + I)^{-1} - (\A^0 + I)^{-1}\|_{L_2(\mathbb R^d)\to L_2(\mathbb R^d)}$ 可被估计为 $O(\eps^\alpha)$，其中 $0< \alpha < 1$；若 $\alpha =1$，则为 $O(\eps (1 + | \operatorname{ln} \eps|)^2)$；若 $1< \alpha < 2$，则为 $O(\eps^{2- \alpha})$。