神经代码的开放、封闭与非退化嵌入维数

我们研究神经代码的开放、封闭与非退化嵌入维数，它们分别是能够找到由开放、封闭或非退化（由Cruz、Giusti、Itskov和Kronholm定义的意义上）凸集组成的代码实现的最小相应维数。对于给定的代码$\mathcal C$，我们将嵌入维数向量定义为由这些嵌入维数组成的三元组$(a,b,c)$。现有结果保证$\max\{a,b\} \le c$，并且我们证明当这些维数中任一至少为2时，这是对此类向量的唯一限制。具体而言，对于每一个满足$2\le \min \{a,b\}$且$\max\{a,b\}\le c$的三元组$(a,b,c)$，我们构造一个代码$\mathcal C_{(a,b,c)}$，其嵌入维数向量恰为$(a,b,c)$。我们的构造结合了凸神经代码文献中的两种现有工具：凸开集的向日葵，以及刚性结构（后者由Chan、Johnston、Lent、Ruys de Perez和Shiu近期的工作定义）。我们的构造提供了首批封闭嵌入维数大于开放嵌入维数但仍有限的代码实例。