曲度背景下的一环应力张量重整合：$\zeta$ 函数与点分割方法的关系，以及改进的点分割程序

我们完成了对前一篇论文中关于 (欧几里得) 点分割方法与局部 $\zeta$ 函数程序在 (欧几里得) 曲度时空中一环量重整合关系的严格分析。应力张量现在考虑于一般 $D$ 维闭合流形上的正标量算子 $-\Delta + V(x)$。先前工作中 ($D=4$ 和 $V(x) =\xi R(x) + m^2$) 的结果被严格证明并推广。还证明，在静态欧几里得时空中，该方法与洛伦兹时间解析延拓是相容的。发现对于 $D>1$，$\zeta$ 函数程序的结果与使用特定选择的 $w_0(x,y)$ 项在 Hadamard 绿函数展开中的改进版点分割方法得到的结果相同。该点分割程序适用于任意场质量 $m$。此外，在 $D=4$ 且 $V(x) = \xi R(x)+ m^2$ 时，所给程序推广了 Wald 改进点分割程序的欧几里得版本。所发现的点分割方法应用于更一般的情况，即不要求流形闭合，亦不依赖于 $\zeta$ 函数程序。这一事实在 $A = -\Delta + m^2$ 的欧几里得马氏时空中得到验证，其中该方法自动为 $m^2 \geq 0$ 正确地产生应力张量。