带色噪声的随机波方程在 $\mathbb{R}$ 上的弱收敛性

本文研究如下实数上的随机波方程 $\partial_t^2 u_{\alpha}=\partial_x^2 u_{\alpha}+b\left(u_\alpha\right)+\sigma\left(u_\alpha\right)\eta_{\alpha}$。噪声 $\eta_\alpha$ 相对于时间为白色，相对于空间为彩色，其协方差结构为 $\mathbb{E}[\eta_\alpha(t,x)\eta_\alpha(s,y)]=\delta(t-s)f_\alpha(x-y)$，其中 $f_\alpha$ 关于 $\alpha$ 在傅里叶模态下连续，见假设 1.2。我们证明了解 $u_\alpha$ 激发的概率测度关于 $\alpha$ 的连续性，依据是关于连续函数在紧集上均匀度量拓扑下的收敛。我们还给出若干 $f_\alpha$ 的例子，使得本定理适用。