具有强漂移项的随机波动方程能否触及零值？

我们研究带乘性噪声与奇异漂移项的随机波动方程：$$\partial_tu(t,x)=\Delta u(t,x)+u^{-\alpha}(t,x)+g(u(t,x))\dot{W}(t,x)$$ 其中 $x$ 位于圆周 $\mathbf{R}/J\mathbf{Z}$ 上且 $u(0,x)>0$。我们证明：(i) 若 $0<\alpha<1$，则以正概率存在某个 $(t,x)$ 使得 $u(t,x)=0$。(ii) 若 $\alpha>3$，则以概率一对所有 $(t,x)$ 有 $u(t,x)\ne0$。