关于局部化Hardy空间$H^1_\rho(\mathcal X)$中的弱$^*$-收敛及其应用

设$(\mathcal X, d, \mu)$为一个完备的RD-空间。令$\rho$为$\mathcal X$上的一个容许函数，即$\rho$是$\mathcal X$上的正函数，且存在正常数$C_0$和$k_0$，使得对任意$x,y\in \mathcal X$，$$\rho(y)\leq C_0 [\rho(x)]^{1/(1+k_0)} [\rho(x)+d(x,y)]^{k_0/(1+k_0)}.$$ 本文中，我们定义空间$VMO_\rho(\mathcal X)$，并证明它是Yang和Zhou \cite{YZ}引入的局部化Hardy空间$H^1_\rho(\mathcal X)$的预对偶。然后我们证明了Jones和Journé \cite{JJ}关于$H^1_\rho(\mathcal X)$中弱$^*$-收敛的经典定理的一个版本。作为应用，我们给出了$H^1_\rho(\mathcal X)$的原子刻画。