论战争：恶性文明的动力学

研究了“恶性”、持续增长的文明（域）的动力学，这些文明在两个域相遇时进行“战争”。在战争事件中，较小的域被消灭，而较大的域因失败方的伤亡比例$\e$而减小。这里$\e$量化了战争的公平性，$\e=1$对应于双方伤亡相等的公平战争，$\e=0$对应于胜利方无伤亡的完全不公平战争。在模型的异质版本中，演化从指定的初始域分布开始，而在同质系统中，除了增长和战争外，还有连续且空间均匀的点域输入。对于异质情况，推导并求解了速率方程，并与数值模拟进行了比较。对于一维中相等大小域的情况，也推导出了精确解。发现异质系统会粗化，典型簇大小随时间$t$线性增长，域的数密度按$1/t$减小。对于同质系统，作为$\e$的函数出现两种不同的长时间行为。当$1/2<\e\leq 1$（相对公平的战争）时，出现稳态，其特征是大小相当的域之间的平等竞争。在$\e=1$的极限情况下，推导并求解了同时考虑域分布和间隙分布的速率方程。稳态的特征是域的年龄通常远大于其大小。当$0\leq\e<1/2$（不公平战争）时，少数“超级大国”最终主导。模拟表明，这种粗化过程以幂律时间行为为特征，具有非普适的指数。