论 Kronecker 系数的消没性

我们证明了判定 Kronecker 系数正性的问题是 NP-难的。此前，该问题被猜想属于 P 类，正如 Littlewood-Richardson 系数的情况一样。我们的结果以形式化的方式确立了：除非 P=NP，否则 Kronecker 系数比 Littlewood-Richardson 系数更难处理。我们还证明了对于 Kronecker 系数的一个特定子类存在 #P-公式，而该子类的正性判定是 NP-难的。这表明，尽管正性问题具有难度，但仍很可能存在一个正性的组合公式来描述 Kronecker 系数。找到这样一个公式是表示论与代数组合学中一个重要的公开问题。最后，我们考虑了满足以下条件的分拆三元组 $(\lambda, \mu, \pi)$ 的存在性：Kronecker 系数 $k^\lambda_{\mu, \pi} = 0$，但对于某个整数 $l>1$，有 Kronecker 系数 $k^{l \lambda}_{l \mu, l \pi} > 0$。这类“空洞”极具研究价值，因为它们见证了 Kronecker 系数饱和性质的失效，而该性质目前仍未被充分理解。借助计算复杂性理论的洞察，我们将难度证明转化为一个正面结果：我们证明不仅存在大量此类三元组，而且它们可以被高效地找到。具体而言，我们证明，对于任意 $0<\epsilon\leq1$，存在 $0<a<1$，使得对于所有 $m$，在 Kronecker 锥中存在 $\Omega(2^{m^a})$ 个分拆三元组 $(\lambda,\mu,\mu)$ 满足：(a) Kronecker 系数 $k^\lambda_{\mu,\mu}$ 为零，(b) $\mu$ 的高度为 $m$，(c) $\lambda$ 的高度 $\le m^\epsilon$，以及 (d) $|\lambda|=|\mu| \le m^3$。最后结果的证明展示了几何复杂性理论显式证明策略的有效性。