关于 Stirling 数与类 Dobinski 公式的 umbral 推广

我们考虑第二类 Stirling 数的 umbral 推广，并给出由此得到的包括新公式在内的各种类 Dobinski 公式。这些推广自然包含了两种著名的 q-推广。因此这里的 q-Stirling 数的进一步连续 umbral 推广以双重方式实现。umbral q-推广的 Dobinski 公式也可解释为具有 q-泊松分布的随机变量的幂的平均，这一事实突显了 q-推广，它们似乎是 umbral 推广域中的某种奇异点，这由相应的两点观察所表述。文章结尾以针对其他已有推广的关闭性问题与建议探讨了其他相关可能性，同时给出了对这些其他类型推广的简要有限综述。其中 Newton 插值公式与差商，连同 umbra 符号语言，在描述 Touchard 一般指数多项式及其可能推广的性质时显得有益且不可或缺。指数结构或代数等价的 prefab 及其指数公式看来也自然相关。