论 Kepler 问题的 Zoll 形变

Bertrand 的一个著名定理指出，平面上所有有界轨道均为周期的有心力势仅有 Kepler 势和简谐振子势。在本文中，我们补充了 Bertrand 定理，证明了在给定能级上存在一个无穷维空间的平面有心力势是 Zoll 的，这意味着所有具有给定能量的非碰撞轨道都是闭合的且长度相同。我们还确定了平面上（不一定平坦）在给定能量下旋转不变且为 Zoll 的所有自然系统，并证明了在多个能量下为 Zoll 的系统的若干存在性和刚性结果。