关于 Bernoulli 自由边界问题跟踪 Dirichlet 数据的适定性

本文旨在研究求解 Bernoulli 自由边界问题的形状优化方法，这是一个著名的通过 Cauchy 数据寻求未知自由边界的病态问题。文献中已提出不同的表述，其目标泛函的选择各不相同。具体而言，文献[14]和[16]分别表明跟踪 Neumann 数据是适定的，而跟踪 Dirichlet 数据则不是。本文提出一种新的适定目标泛函，用于在自由边界处跟踪 Dirichlet 数据。通过计算该目标泛函的 Euler 导数与形状 Hessian，我们证明新表述是适定的，即形状 Hessian 在极小化子处是强制的。形状 Hessian 的强制性可确保非线性 Ritz-Galerkin 近似方法最优解的存在性及其收敛性，因此对表述至关重要。综上，我们得出结论：以能量范数跟踪 Dirichlet 或 Neumann 数据并不充分，而以高半阶的范数跟踪则是适定的。为支持我们的理论结果，我们进行了广泛的数值实验。