使用CutFEM对不适定Bernoulli自由边界问题的形状导数比较

本文讨论了一种用于识别计算域中未知边界的水平集方法。该问题表现为一个Bernoulli问题，其中在待识别边界上仅已知Dirichlet数据，但在已知边界部分有Neumann条件的额外信息。该方法采用经典的约束优化问题，其中代价泛函关于未知边界最小化，该边界的位置由水平集函数隐式定义。为了求解优化问题，应用了使用形状导数的最速下降算法。在每次迭代中，使用切割有限元方法（CutFEM）在给定水平集配置下获得PDE模型约束的高精度近似，而无需重新网格化。我们考虑了三种不同的形状导数。第一种是经典的，通过连续优化问题推导（先优化后离散）。然后，先使用CutFEM方法离散化泛函，再在有限元泛函上评估形状导数（先离散后优化）。最后，我们考虑第三种方法，也使用离散化泛函。在这种情况下，我们不扰动域，而是考虑一种所谓的边值修正方法，其中对边界位置的小修正可以包含在弱边界条件中。利用这种修正，可以通过扰动离散变分公式中的距离参数来获得形状导数。理论讨论通过一系列数值例子加以说明，表明所有三种方法在所提出的Bernoulli问题上产生相似的结果。