关于形状优化框架下求解定常自由边界问题的新型耦合复边界方法

我们在此提出所谓耦合复边界方法——由 Cheng 等人（2014）首次提出以处理反源问题——在形状优化框架下求解外 Bernoulli 问题（定常自由边界问题的典型模型）的新应用。该方法的思想是将过定问题转化为具有耦合自由边界上 Dirichlet 与 Neumann 边界条件的复 Robin 边界条件的复边值问题。然后，我们优化由整个域中解的虚部构造的代价函数，以识别自由边界。我们还证明了复状态关于区域的形状导数的存在性。随后，我们计算代价泛函的形状梯度，并在区域强正则性假设下进而弱正则性假设下刻画其在最优域上的形状 Hessian。然后我们通过证明后一表达的紧致性来考察所提方法的不稳定性。此外，我们设计了一种基于 Sobolev 梯度格式并通过有限元方法求解极小化问题的迭代算法。最后，我们通过若干二维与三维空间维度的数值例子说明了该方法的适用性。