关于二次丛的单有理化

我们证明，在数域上，一个一般的 $n$ 维二次丛 $\mathcal{Q}^{n-1}\rightarrow\mathbb{P}^{1}$，若满足 $(-K_{\mathcal{Q}^{n-1}})^n > 0$ 且判别式为奇次 $\delta_{\mathcal{Q}^{n-1}}$，则是单有理的；并且对于定义在任意无限域上的二次丛，只要 $\mathcal{Q}^{n-1}$ 有一个点、其余为一般的且 $n\leq 5$，同样结论成立。由此我们得到，在代数闭域上，判别式为奇次 $\delta_{\mathcal{Q}^{h}}\leq 3h+4$ 的一般 $n$ 维二次丛 $\mathcal{Q}^{h}\rightarrow\mathbb{P}^{n-h}$，以及任意光滑 $4$ 维二次丛 $\mathcal{Q}^{2}\rightarrow\mathbb{P}^{2}$（满足 $\delta_{\mathcal{Q}^{2}}\leq 12$）的单有理化。