关于鞅收敛中几乎必然误差容忍度与平均偏差频率之间的权衡

在本文中，我们根据渐近几乎必然收敛速率（误差容忍度）与相应收敛模之间的权衡来量化几乎必然鞅收敛定理。为此，我们推广了作者最近建立的关于偏差频率（误差出现）统计的首个 Borel-Cantelli 引理的初等定量版本。首先我们研究 $L^2$ 中的鞅收敛，以及 Azuma-Hoeffding 不等式设定下的鞅收敛。第二步我们研究两种设定下鞅差的大数定律：使用相应 Baum-Katz-Stoica 定理的 $L^p$（$p\geq 2$）中一致有界增量，以及借助 Lesigne 和 Voln\'y 的鞅估计的一致有界指数矩。我们还给出了该权衡在多色广义 P\'olya urn 过程、广义中国餐馆过程、统计 M-估计量以及 Galton-Watson 分支过程的 a.s.~游程频率中的应用。最后，我们将该权衡概念与 Ky Fan 度量下的收敛联系起来。