论误用欧几里得引理的‘成功’

我们考察欧几里得引理：若 $p$ 为素数且满足 $p | ab$，则 $p$ 至少整除 $a$ 或 $b$ 之一。具体而言，我们考虑该引理被误用于非素数数字的常见情况，正如本科生常犯的那样。我们证明，随机选取的形如 $r |ab \Rightarrow r|a \text{ 或 } r|b$ 的蕴含关系在概率意义下几乎必然为假，并且我们用相应的渐近公式对此进行了量化。