图中无嫉妒定向的补贴问题

我们研究图(多图)中的公平分配问题，其中 $n$ 个代理（顶点）两两通过物品（边）相连，每个代理仅关心其 incident 物品。我们考虑如何在无嫉妒的情况下分配 incident 代理的物品，即无嫉妒定向，同时最小化总支付量，即补贴。我们首先证明，即使在图为简单图且代理具有双值可加贡献时，计算补贴最小的无嫉妥定向也是 NP-hard 的。随后我们给出补贴的上界。我们证明，对任意多图（允许平行边）且贡献单调的情形下，每位代理最多支付 $1（总补贴为 $n-1$，其中 $n$ 为代理数量），这是已知在代理具有单调贡献时线性补贴 $\Theta(n)$ 必要且充足的少数情形之一。当贡献为可加的（图可含平行边）或图为简单图（贡献可单调）时，我们分别将上界改进为 $n/2$ 和 $n-2$。此外，这两个上界均为紧致的。