关于全纯étale 映射半群的结构

我们希望（在未来）能够仔细分析这一结构，并将二维雅可比猜想与某些 Zeta 函数联系起来，从而调用强大的算术机器来处理二维雅可比猜想。令 ${\rm et}(\mathbb{C}^2)$ 表示二维 Keller 映射的半群。我们希望能证明如下结论：a) 存在一个无限索引集 $I$ 和一个由 $I$ 索引的映射族 $\{F_i\,|\,i\in I\} \subset {\rm et}(\mathbb{C}^2)$，使得 $${\rm et}(\mathbb{C}^2)={\rm Aut}(\mathbb{C}^2)\cup\bigcup_{i\in I} R_{F_i}({\rm et}(\mathbb{C}^2)),$$ 其中若 $i\ne j$，则 $R_{F_i}({\rm et}(\mathbb{C}^2))\cap R_{F_j}({\rm et}(\mathbb{C}^2))=\emptyset$。b) 上述 (a) 中描述的表示的平行表示成立，此次是关于左复合算子 $L_{G_j}$ 的。这两个主张将成为 ${\rm et}(\mathbb{C}^2)$ 上分形结构的基础，因为片段 $R_{F_i}({\rm et}(\mathbb{C}^2))$ 彼此相似（即它们同胚），并且我们进一步拥有自相似性的缩放性质，即 $R_F({\rm et}(\mathbb{C}^2))$ 同胚于其真子空间 $R_{G\circ F}({\rm et}(\mathbb{C}^2))$，后者又同胚于其真子空间 $R_{H\circ G\circ F}({\rm et}(\mathbb{C}^2))$，以此类推。在此需要指出的是，本文的目的是启动并发展单复变量全纯函数的平行理论。此背景下的结果暗示了实现上述目标的可能性。