二维 Keller 映射的 Picard 定理与幻曲线

设 $F=(P,Q)\in\mathbb{C}[X,Y]^{2}$ 为复域 $\mathbb{C}$ 上的多项式映射。假设 $$\det\,J_{F}(X,Y):=\frac{\partial P}{\partial X}\frac{\partial Q}{\partial Y}- \frac{\partial P}{\partial Y}\frac{\partial Q}{\partial X}=a\in\mathbb{C}^{\times}.$$ 满足上述条件的映射称为 Keller 映射。本文估计了 $F$ 的余像（co-image）的大小。我们给出了基于其幻曲线（Phantom curve）的 Keller 映射满射性的充分条件。该曲线与 $F$ 的渐近簇（asymptotic variety）密切相关。