关于平面微分系统极限环的稳定性

我们考虑平面微分系统 $\dot{x}= P(x,y)$, $\dot{y} = Q(x,y)$, 其中 $P$ 和 $Q$ 是某开集 $\mathcal{U} \subseteq \mathbb{R}^2$ 中的 $\mathcal{C}^1$ 函数, 且 $\dot{}=\frac{d}{dt}$。设 $\gamma$ 为系统在 $\mathcal{U}$ 中的周期轨道。设 $f(x,y): \mathcal{U} \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 为 $\mathcal{C}^1$ 函数, 使得 $$P(x,y) \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + Q(x,y) \frac{\partial f}{\partial y} (x,y) = k(x,y) f(x,y),$$ 其中 $k(x,y)$ 为 $\mathcal{U}$ 中的 $\mathcal{C}^1$ 函数且 $\gamma \subseteq \{(x,y) | f(x,y) = 0\}$。我们假定若 $p \in \mathcal{U}$ 满足 $f(p)=0$ 且 $\nabla f(p)=0$, 则 $p$ 为奇点。我们证明 $\int_{0}^{T} (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y})(\gamma(t)) dt= \int_0^{T} k(\gamma(t)) dt$, 其中 $T>0$ 为 $\gamma$ 的周期。作为一个应用, 我们利用该等式证明了二次系统已知代数极限环的双曲性。