关于单调子集谱扩张的研究

我们研究由单调顶点子集诱导的超立方体子图的谱间隙。对于密度为 $\mu(A)$ 的单调子集 $A\subseteq\{0,1\}^{n}$，科恩 (Cohen) 之前给出的最佳下界为 $\gamma\gtrsim \mu(A)/n^{2}$，这优于 Ding 和 Mossel 建立的早期下界 $\gamma\gtrsim \mu(A)^{2}/n^{2}$。本文证明了最优下界 $\gamma\gtrsim \mu(A)/n$。作为推论，我们将随机游走在常数密度单调子集上的混合时间上界从 Ding 和 Mossel 所示的 $O(n^{3})$ 改进为 $O(n^{2})$。在此过程中，我们发展了两个可能独立感兴趣的新不等式：(1) 超立方体上的一个有向 $L^{2}$-Poincar\'{e} 不等式，和 (2) 单调子集的“近似”FKG 不等式。