关于 Poincaré 循环的空间平均

设 $X$ 为一测度空间,$T:X\to X$ 为一可测变换。对任意可测集 $E\subseteq X$ 与 $x\in E$,可能的无穷返回时间定义为 $n_E(x):=\inf\{n>0: T^n x\in E\}$。若 $T$ 是概率空间 $X$ 的遍历变换,且 $\mu(E)>0$,则 M. Kac 的一个定理指出 $\int_E n_E d\mu=1$。我们通过独立地、且几乎平凡地证明:对有限测度空间 $X$ 上的任意可逆保测变换 $T$,任意可测集 $E\subseteq X$ 满足 $\int_E n_E d\mu=\mu(I_E)$,其中 $I_E$ 是包含 $E$ 的最小不变集,从而将此结论推广到任意可逆保测变换 $T$。特别地,这也给出了 Poincaré 回归定理的一个更简单的证明。