关于合流 Heun 方程的可解性与相关正交多项式

本文分析了合流 Heun 型方程 $(a_{3,1}r^2+a_{3,2}r)y''+(a_{2,0}r^2+a_{2,1}r+a_{2,2})y'-(\tau_{1,0}r+\tau_{1,1})y=0,$ （其中 $|a_{3,1}|^2+|a_{3,2}|^2\neq 0,$ 且 $a_{i,j}, i=3,2,1, j=0,1,2$ 为实参数）容许多项式解的约束条件。给出了这些多项式存在的充分必要条件。提供了一个三项递推关系以显式生成多项式解。然后，我们证明这些多项式解是有限正交多项式序列的来源。讨论了若干性质，如递推关系、Christoffel-Darboux 公式以及权函数的矩。我们还展示了这些正交多项式的一个分解性质，允许构造其他正交多项式序列。作为示例，我们研究了 $(p,q)$-双曲势 $V(r)=-V_0\sinh^p(r)/\cosh^q(r), V_0>0, p\geq 0, q>p$ 的准精确可解性。构造了由具有 $(4,6)$-双曲势的 Schrödinger 方程的解生成的相关正交多项式。