费马大定理中整数/复数/四元数三元组的多项式方程aⁿ+bⁿ=cⁿ本身的简单整除性限制
综合数学
2024-07-09 v1
摘要
分析了费马大定理(FLT, 1637)中著名方程aⁿ+bⁿ=cⁿ的整除性限制如何筛选出许多三元组成为费马三元组（即解），如果n大于2，则减少费马三元组的基数。在我们的分析中，对正整数(PI)解((a,b,c,n)直到不再有解的点)的限制并非像文献中那样沿着PI中幂n的限制（作为递减集合{PI}包含{奇数}包含{素数}包含{正则素数}等），而是关于排除PI中越来越多的c（作为递增集合{素数p}包含在{pᵏ}中包含在{PI}中）。分析了费马方程中的整除性和互质性质与排除解的关系，并展示了gcd(a,b,c)、gcd(a+b,cⁿ)、gcd(c-a,bⁿ)和gcd(c-b,aⁿ)的同时值对解基数减少的影响。再次，我们的推导主要关注变量c而不是变量n，这与文献中FLT历史上根据幂n的值进行划分的做法相反。其中最著名的是大约2500年前已知的现有勾股三元组(a,b,c,n=2)以及不到400年前的首个里程碑式证明案例（n=3由高斯以及后来的欧拉(1753)证明，n=4由费马证明）。众所周知，怀尔斯在1995年以抽象的迂回方式证明了FLT。还评论了n<0、n:=1/m以及复数与四元数(a,b,c)情况（聚焦于勾股数）。四元数上的奇次幂FLT不成立。
引用
@article{arxiv.2407.05068,
title = {On the Simple Divisibility Restrictions by Polynomial Equation a n+bn=cn Itself in Fermat Last Theorem for Integer/Complex/Quaternion Triples},
author = {Sandor Kristyan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2407.05068},
year = {2024}
}
备注
13 pages, 3 Tables