论高阶消息传递的层化

拓扑深度学习（TDL）的最新研究旨在将图学习中卓越的\textit{消息传递}范式推广到更复杂的关系结构：单纯复形、胞腔复形、超图及其组合。许多此类\textit{高阶消息传递}（HOMP）方法可以用基于霍奇（组合）拉普拉斯算子的非线性扩散来表述，该算子是一个分级算子，携带一种归纳偏置，即维度-$k$ 的数据特征与编码在底层域（奇异）上同调中的维度-$k$ 拓扑特征相关联。对于 $k=0$，这恢复了图拉普拉斯算子及其被广泛研究的同质性偏置。然而，在更高级别中，霍奇拉普拉斯算子的偏置更加不透明，甚至可能退化。在本文中，我们将层理论定位为一种自然且原则性的形式体系，用于修改霍奇拉普拉斯算子通过扩散介导的局部与全局描述符之间的接口，以实现更具表达力的消息传递。层拉普拉斯算子的归纳偏置将维度-$k$ 数据特征与维度-$k$ 的\textit{层上同调}相关联，后者是奇异上同调的一种数据感知推广。我们将在此视角下，对图学习（$k=0$）中层扩散的先前理论进行语境化并做出新颖的扩展——并探索其为何无法推广到 $k>0$——然后为高阶设定发展新的理论与实践。我们的阐述伴随着一个自包含的导论，引导层从抽象走向应用。