关于仙人掌图边环的$(S_2)$条件

仙人掌图是一种连通图，其中每个块要么是一条边，要么是一个圈。在本文中，我们将考察所有块均为$3$-圈（即三角形仙人掌图）且直径为$4$的仙人掌图。我们的主要重点是证明这类图对应的边环不是正规的，但满足 Serre 条件$(S_2)$。我们使用了 Katth"an 提出的关于非正规仿射半群环的判别准则。