论推理框架的相对渐近表达性

我们考虑真值在单元区间 $[0,1]$ 内的逻辑。此类逻辑用于定义查询与概率分布。在此背景下，公式的几乎必然等价概念被推广为渐近等价概念。我们证明了关于公式渐近等价的两个新结果，其中每个结果都有一个收敛律作为推论。这些结果以及若干较早结果均可表述为关于推理框架相对渐近表达性的结果。一个推理框架 $\mathbf{F}$ 是一类对 $(\mathbb{P}, L)$ 组成的类，其中 $\mathbb{P} = (\mathbb{P}_n : n = 1, 2, 3, \ldots)$，$\mathbb{P}_n$ 是定义域为 $\{1, \ldots, n\}$（其中 $\sigma$ 为一阶签名）的所有 $\sigma$-结构集合 $\mathbf{W}_n$ 上的概率分布，$L$ 是真值在单元区间 $[0,1]$ 内的逻辑。若对每一 $(\mathbb{P}, L) \in \mathbf{F}$，存在 $(\mathbb{P}', L') \in \mathbf{F}'$ 使得 $\mathbb{P}$ 渐近全变分等价于 $\mathbb{P}'$ 且对每一 $\varphi(\bar{x}) \in L$ 存在 $\varphi'(\bar{x}) \in L'$ 使得 $\varphi'(\bar{x})$ 相对于 $\mathbb{P}$ 渐近等价于 $\varphi(\bar{x})$，则称推理框架 $\mathbf{F}'$ 渐近地至少与推理框架 $\mathbf{F}$ 同具表达性。该关系是一个预序。若此外 $\mathbf{F}$ 也至少与 $\mathbf{F}'$ 同具表达性，则称 $\mathbf{F}$ 与 $\mathbf{F}'$ 渐近等表达。我们的第三点贡献是将本文新结果与若干先前结果系统化，从而得到在机器学习与人工智能背景下相关的一组推理系统上的预序。