Markov 逻辑网络的论域大小渐近性

Markov 逻辑网络 (MLN) $\mathbb{M}$ 确定了在具有论域 $\{1, \ldots, n\}$ 的结构或“可能世界”集合 $\mathbf{W}_n$ 上的概率分布 $\mathbb{P}_n^\mathbb{M}$。我们研究当 $n$ 趋于无穷时此类分布的性质。我们表明，在具有任意正权重单一软约束的 MLN $\mathbb{M}$ 的温和假设下，对于所有足够大的 $n$，分布 $\mathbb{P}_n^\mathbb{M}$ 的行为将与 $\mathbf{W}_n$ 上的均匀分布 $\mathbb{P}_n^{uni}$ 大相径庭。对于仅包含一个元数为 1 的关系符号 $R$ 的语言，我们给出了当 $n \to \infty$ 时 $\mathbb{P}_n^\mathbb{M}$ 可能渐近行为的几乎完整的刻画，其中 $\mathbb{M}$ 可以是该语言的任何 MLN。渐近行为取决于 MLN 的软约束和权重。该刻画用于表明，如果所考虑的语言包含至少一个元数为 1 的关系符号，则以下结论成立： 存在一个 MLN $\mathbb{M}$，使得对于每个提升贝叶斯网络 (LBN) $\mathbb{G}$，存在无穷多个 $n$ 使得 $\mathbb{M}$ 和 $\mathbb{G}$ 在 $\mathbf{W}_n$ 上确定不同的分布。 存在一个 LBN $\mathbb{G}$，使得对于每个 MLN $\mathbb{M}$，存在无穷多个 $n$ 使得 $\mathbb{G}$ 和 $\mathbb{M}$ 在 $\mathbf{W}_n$ 上确定不同的分布。我们还表明，在极限情况下，权重维度和论域大小维度的行为可能完全不同。