On the randomized Horn problem and the surface tension of hives

给定两个非递增的实数 $n$ 元组 $\lambda_n$, $\mu_n$，Horn problem 求的是描述所有非递增的实数 $n$ 元组 $\nu_n$ 的集合，这些 $\nu_n$ 满足存在 Hermitian 矩阵 $X_n$, $Y_n$ 和 $Z_n$ 分别具有这些谱，并且 $X_n + Y_n = Z_n$。还有一个随机化版本的这个问题，其中 $X_n$ 和 $Y_n$ 从由单子矩阵群元素所引起的 Hermitian 矩阵轨道中均匀随机抽取。然后问的是对谱和 $Z_n$ 的概率分布的描述。原来的 Horn problem 及其随机化版本都使用 Knutson 和 Tao 引入的 hives 来求解。从 $n \rightarrow \infty$ 的意义上说，Narayanan 和 Sheffield 给出了随机化 Horn problem 的大偏差，以 hives 的 surface tension 表示。在本文中，我们给出这个 surface tension 函数的上界和下界。我们还获得了边界条件来自 GUE 特征谱的 surface tension 最小化连续 hive 的总熵的闭式表达式。最后，我们给出若干关于随机 hive 和由 octahedron 递推产生的 lozenge tilings 的经验结果，这些结果针对大 $n$ 以及对 surface tension 函数的数值近似。