探寻由矢量势旋度生成的三维流的广义哈密顿描述

我们研究三维平流流 $\mathbf{\dot{x}}=\mathbf{v}({\bf x})$ 的哈密顿分析，假设其具有不可压缩性质 $\nabla \cdot {\bf v} ={\bf 0}$，且动力学由矢量势的旋度 $\mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}$ 生成。更具体地，我们在量 $\mathbf{A} \cdot \nabla \times \mathbf{A}$ 为零或非零的背景下，详细阐述此类系统的南部-哈密顿和双哈密顿特性。我们给出一个满足 $\mathbf{A} \cdot \nabla \times \mathbf{A} \neq 0$ 的例子，它可以写成南部-哈密顿和双哈密顿形式。我们给出另一个满足 $\mathbf{A} \cdot \nabla \times \mathbf{A} = 0$ 的例子，我们无法将其写成南部-哈密顿或双哈密顿系统。另一方面，这第二个例子可以用哈密顿一形式来表述，并产生广义或矢量哈密顿方程 $\dot{x}_i = - \epsilon_{ijk}{\partial \eta_j}/{\partial x_k}$。