由向量势的旋度与 Maurer-Cartan 方程生成的 3D 流

我们考察满足向量恒等式 $M\mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}$ 的 $3D$ 流 $\mathbf{\dot{x}}=\mathbf{v}({\bf x})$，其中 $M$ 为乘子，$\mathbf{A}$ 为势场。我们确立了对这些系统，可将向量场 $\mathbf{v}$ 补充为一个适配 $\mathfrak{sl}(2)$-代数的基。相应地，在协变量的意义上，结构方程确定了一组 Maurer-Cartan 形式的方程。这一实现使人们能够获得势场并研究系统的（双）哈密顿特征。后者在系统具有时间无关的首积分时发生。为在具体情形中展示理论结果，我们给出了三个例子，即 Gulliot 系统、具有不可积势的系统，以及对称多项式中的 Darboux-Halphen 系统。