从流与度量到动力学

回顾 n 维可微流形 M 上的向量场是定义在 M 上取值于切丛 TM 的映射,它对每点 $x\in M$ 指派切空间 $T_x M$ 中的一个向量 X(x)。向量场也可解释为自治一阶常微分方程组即一个流的右端。现在我们证明任意流都可用 M 上的半 Riemann 度量 g 包络为一个保守动力学。此类动力学被称为{\it 几何动力学} [7]-[9]。所给向量场、初始半 Riemann 度量、Levi-Civita 联络以及一个相伴的 (1,1)-张量场被用于建立流形 M 上的新几何结构(例如半 Riemann-Jacobi、半 Riemann-Jacobi-Lagrange、半 Finsler-Jacobi 等),确保几何动力学的所有轨线均为准测地线(Lorentz-Udriște 世界力律)。我们隐式地解决了 Poincaré 首次提出的一个问题:寻找一个合适的几何结构将给定向量场的轨线变为测地线。