完全图的伪色指数 III

设 $\Pi_q$ 为阶 $q$ 的射影平面，令 $\psi(m):=\psi(L(K_m))$ 为阶 $m$ 的完全线图的伪色数，令 $a\in \{ 3,4,\dots,\tfrac{q}{2}+1 \}$ 且 $m_a=(q+1)^2-a$。本文中，我们改进了 Araujo-Pardo 等人 [J Graph Theory 66 (2011), 89--97] 与 Jamison [Discrete Math. 74 (1989), 99--115] 给出的 $\psi(m)$ 的上界如下：若 $x\geq 2$ 为整数且 $m\in \{4x^2-x,\dots,4x^2+3x-3\}$，则 $\psi(m) \leq 2x(m-x-1)$。另一方面，若 $q$ 为偶数且存在 $\Pi_q$，我们给出 $K_{m_a}$ 的一种使用 $(m_a-a)q$ 种颜色的完全边着色。此外，利用该着色，我们推广了 Araujo-Pardo 等人在 [J Graph Theory 66 (2011), 89--97] 和 [Bol. Soc. Mat. Mex. (2014) 20:17--28] 中针对 $a=\{-1,0,1,2\}$ 的先前结果，证明了对 $a\in \{3,4,\dots,\left\lceil \frac{1+\sqrt{4q+9}}{2}\right\rceil -1 \}$ 有 $\psi(m_a)=(m_a-a)q$。