源于单侧 L\'evy 稳定律的 Laplace 变换性质

我们考虑 $f(x)$ 的常规 Laplace 变换，记为 $\mathcal{L}[f(x); p]~\equiv~F(p)=\int_{0}^{\infty} e^{-p x} f(x) dx$，其中 ${\rm \mathfrak{Re}}(p) > 0$。对于 $0 < \alpha < 1$，我们提供了逆 Laplace 变换 $\mathcal{L}^{-1}[F(p^{\alpha}); x]$ 和 $\mathcal{L}^{-1}[p^{\alpha-1}F(p^{\alpha}); x]$ 的闭式表达式。在这两种情况下，它们都涉及定积分，其核为适当缩放后的单侧 L\'{e}vy 稳定概率分布函数 $g_{\alpha}(x)$，其中 $0 < \alpha < 1$，$x > 0$。由于 $g_{\alpha}(x)$ 对于有理数 $\alpha$（即 $\alpha = l/k$，其中 $l, k=1, 2, \ldots$，$l < k$）是确切且显式已知的，我们的结果将已知且列表化的 $\alpha = 1/2$ 情形推广到了任意有理数 $0 < \alpha < 1$。我们考察了该过程的积分核以及由此产生的两类 L\'{e}vy 积分变换。