关于对数概型的profinite同伦型

我们完成了在 [6] 中发起的、比较对数概型（log scheme）底层同伦型的多种不同可能定义的研究计划。我们证明，在 profinite 完备（profinite completion）意义下，它们都给出相同的结果，从而得到一个无歧义的对数概型的 profinite 同伦型定义。具体而言，在 [6] 中，我们将其定义为无穷根栈（infinite root stack）的 profinite étale 同伦型，并证明在 $\mathbb{C}$ 上，这与 Kato-Nakayama 空间在 profinite 完备意义下一致。其他可能的候选包括 Kummer étale 站点 $X_{\mbox{k\'et}}$ 的 profinite 形状，或 $\sqrt[\infty]{X}$ 的可表示 étale 站点的 profinite 形状。我们的主要结果是所有这些概念都一致，并且无穷根栈的 profinite étale 同伦型不依赖于它是被视为栈中的 pro-系统，还是被视为一个实际的栈（通过对 pro-系统取极限）。我们进一步证明，在对数正则（log regular）情形下，所有这些概念也与经典轨迹 $X^{\mbox{triv}}$ 的 étale 同伦型（在适当的完备意义下）一致。我们推得，在任意局部 Noether 基上，$\mathbb{G}_m^N$ 的 étale 同伦型在完备意义下与 $B\mu_\infty^N$ 的一致。